2016–2017 学年春季期末真题

#真题

考试日期为 2017 年 6 月 26 日。源卷附答案，以下按原题整理。

一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）

1. 二重积分的大小比较

设

I1=∬Dsin⁡x2+y2 dxdy,I2=∬Dsin⁡(x2+y2) dxdy,I3=∬Dsin⁡[(x2+y2)2],dxdy,\begin{aligned} I_1&=\iint_D\sin\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy,\\ I_2&=\iint_D\sin(x^2+y^2)\,\mathrm dx\mathrm dy,\\ I_3&=\iint_D\sin[(x^2+y^2)^2],\mathrm dx\mathrm dy, \end{aligned}

其中 D={(x,y)∣x2+y2≤1}D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq1\}，则（　）。

A. I1>I2>I3I_1>I_2>I_3　B. I3>I2>I1I_3>I_2>I_1　C. I2>I1>I3I_2>I_1>I_3　D. I3>I1>I2I_3>I_1>I_2

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答案：A。令 r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}。在 0≤r≤10\leq r\leq1 上，

r≥r2≥r4,r\geq r^2\geq r^4,

而 sin⁡t\sin t 在 [0,1][0,1] 上严格递增，因此三个被积函数依次减小，积分满足 I1>I2>I3I_1>I_2>I_3。

2. 缩小球体上的三重积分

设 VrV_r 表示球体 x2+y2+z2≤r2x^2+y^2+z^2\leq r^2，则

lim⁡r→01r3∭Vrcos⁡(x2+y2+z2) dxdydz\lim_{r\to0}\frac1{r^3}\iiint_{V_r}\cos(x^2+y^2+z^2)\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz

等于（　）。

A. 00　B. 5π/35\pi/3　C. 4π/34\pi/3　D. 2π/32\pi/3

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答案：C。作缩放 x=ru,y=rv,z=rwx=ru, y=rv, z=rw，积分变为

∭u2+v2+w2≤1cos⁡[r2(u2+v2+w2)],dudvdw.\iiint_{u^2+v^2+w^2\leq1} \cos\bigl[r^2(u^2+v^2+w^2)\bigr],\mathrm du\mathrm dv\mathrm dw.

令 r→0r\to0 后，被积函数趋于 1，故极限为单位球体积 4π/34\pi/3。

3. 球面与平面的交圆

曲线 Γ\Gamma 为圆周

{x2+y2+z2=a2,x+y+z=0.\begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2,\\ x+y+z=0. \end{cases}

则

∫Γ(x+y2) ds=().\int_\Gamma(x+y^2)\,\mathrm ds=(\quad).

A. 2πa2/32\pi a^2/3　B. 4πa2/34\pi a^2/3　C. 2πa3/32\pi a^3/3　D. 4πa3/34\pi a^3/3

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答案：C。平面经过球心，故 Γ\Gamma 是半径为 aa 的大圆。由关于原点的对称性，∫Γx ds=0\int_\Gamma x\,\mathrm ds=0。又因平面与方程在 x,y,zx,y,z 间对称，

∫Γx2 ds=∫Γy2 ds=∫Γz2 ds.\int_\Gamma x^2\,\mathrm ds =\int_\Gamma y^2\,\mathrm ds =\int_\Gamma z^2\,\mathrm ds.

三者之和为 ∫Γa2 ds=2πa3\int_\Gamma a^2\,\mathrm ds=2\pi a^3，所以 ∫Γy2 ds=2πa3/3\int_\Gamma y^2\,\mathrm ds=2\pi a^3/3。

4. 八面体表面的曲面积分

给定曲面 Σ:∣x∣+∣y∣+∣z∣=1\Sigma:|x|+|y|+|z|=1。已知它在第一卦限内的面积为 3/2\sqrt3/2，则

∬Σ(∣x∣+y) dS=().\iint_\Sigma(|x|+y)\,\mathrm dS=(\quad).

A. 23/32\sqrt3/3　B. 43/34\sqrt3/3　C. 83/38\sqrt3/3　D. 163/316\sqrt3/3

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答案：B。曲面关于 y=0y=0 对称，故 ∬Σy dS=0\iint_\Sigma y\,\mathrm dS=0。在第一卦限的三角形面片上，质心的 xx 坐标为 1/31/3，所以

∬Σ∩{x,y,z≥0}x dS=13⋅32=36.\iint_{\Sigma\cap\{x,y,z\geq0\}}x\,\mathrm dS =\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{6}.

八个卦限贡献相同，因此 ∬Σ∣x∣ dS=8⋅3/6=43/3\iint_\Sigma|x|\,\mathrm dS=8\cdot\sqrt3/6=4\sqrt3/3。

5. 含参变量积分求导

设 ff 为连续函数，

F(z)=∫1z ⁣dy∫yzf(x) dx,F(z)=\int_1^z\!\mathrm dy\int_y^zf(x)\,\mathrm dx,

则 F′(z)=F'(z)=（　）。

A. f(z)f(z)　B. zf(z)zf(z)　C. (1−z)f(z)(1-z)f(z)　D. (z−1)f(z)(z-1)f(z)

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答案：D。对外层积分使用 Leibniz 公式：上端点处的内层积分为零，而内层积分对 zz 的导数是 f(z)f(z)，故

F′(z)=∫1zf(z) dy=(z−1)f(z).F'(z)=\int_1^zf(z)\,\mathrm dy=(z-1)f(z).

二、计算题（每小题 6 分，共 30 分）

1. 单位圆盘上的二重积分

计算

∬D1+x+y1+x2+y2 dxdy,D={(x,y)∣x2+y2≤1}.\iint_D\frac{1+x+y}{1+x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy, \qquad D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq1\}.
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由区域的对称性，分子中的 x,yx,y 两项积分均为零。因此

∬D1+x+y1+x2+y2 dxdy=∫02π ⁣dθ∫01r1+r2 dr=πln⁡2.\begin{aligned} \iint_D\frac{1+x+y}{1+x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy &=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1\frac{r}{1+r^2}\,\mathrm dr\\ &=\pi\ln2. \end{aligned}

2. 圆锥内的三重积分

计算

∭V(x+y)2 dxdydz,\iiint_V(x+y)^2\,\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz,

其中 VV 是由 x2+y2=z2x^2+y^2=z^2 与平面 z=1z=1 围成的立体。

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由区域关于坐标面对称，2xy2xy 的积分为零。使用柱坐标，0≤r≤z≤10\leq r\leq z\leq1，所以

∭V(x+y)2 dV=∭V(x2+y2) dV=∫01 ⁣dz∫02π ⁣dθ∫0zr3 dr=π10.\begin{aligned} \iiint_V(x+y)^2\,\mathrm dV &=\iiint_V(x^2+y^2)\,\mathrm dV\\ &=\int_0^1\!\mathrm dz\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^zr^3\,\mathrm dr =\frac\pi{10}. \end{aligned}

3. 单位圆周上的第一型曲线积分

计算

∮Lx2017y ds,\oint_Lx^{2017}y\,\mathrm ds,

其中 LL 为单位圆周。

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关于 y=0y=0 作对称变换时，x2017yx^{2017}y 变号，而 ds\mathrm ds 不变，所以整个圆周上的积分为

0.0.

4. 上半椭圆上的第二型曲线积分

设 LL 为椭圆 x2+2y2=2x^2+2y^2=2 的上半部分，方向为逆时针，计算

I=∫Lx dy−y dx.I=\int_Lx\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx.
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取参数 x=2cos⁡θ,y=sin⁡θ,0≤θ≤πx=\sqrt2\cos\theta, y=\sin\theta, 0\leq\theta\leq\pi，则

I=∫0π2(cos⁡2θ+sin⁡2θ) dθ=2π.\begin{aligned} I&=\int_0^\pi\sqrt2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,\mathrm d\theta\\ &=\sqrt2\pi. \end{aligned}

5. 圆锥面上的第一型曲面积分

计算

∬Σ(x2+y2) dS,\iint_\Sigma(x^2+y^2)\,\mathrm dS,

其中 Σ\Sigma 为锥面 z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2} 介于 z=0z=0 与 z=1z=1 之间的部分。

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锥面写作 z=z(x,y)z=z(x,y) 时，

dS=1+zx2+zy2 dxdy=2 dxdy.\mathrm dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy =\sqrt2\,\mathrm dx\mathrm dy.

投影为单位圆盘，故

∬Σ(x2+y2) dS=2∫02π ⁣dθ∫01r3 dr=22π.\iint_\Sigma(x^2+y^2)\,\mathrm dS =\sqrt2\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1r^3\,\mathrm dr =\frac{\sqrt2}{2}\pi.

三、第二型曲面积分（8 分）

Σ\Sigma 是平面 x−2y+z=1x-2y+z=1 在第四卦限内的部分，方向取与 zz 轴正向夹角为锐角，求

∬Σ[f(x,y,z)+x],dydz+[f(x,y,z)+y],dzdx+[f(x,y,z)+z],dxdy.\iint_\Sigma[f(x,y,z)+x],\mathrm dy\mathrm dz +[f(x,y,z)+y],\mathrm dz\mathrm dx +[f(x,y,z)+z],\mathrm dx\mathrm dy.
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平面写作 z=1−x+2yz=1-x+2y。第四卦限内有 x≥0,y≤0,z≥0x\geq0, y\leq0, z\geq0，其 xyxy 投影为

Dxy={(x,y)∣x≥0,y≤0,x−2y≤1},D_{xy}=\{(x,y)\mid x\geq0, y\leq0, x-2y\leq1\},

这是面积为 1/41/4 的直角三角形。曲面取上侧，利用

dydz=−zx dxdy,dzdx=−zy dxdy,\mathrm dy\mathrm dz=-z_x\,\mathrm dx\mathrm dy, \qquad \mathrm dz\mathrm dx=-z_y\,\mathrm dx\mathrm dy,

原积分化为

∬Dxy{(f+x)−2(f+y)+(f+z)} dxdy=∬Dxy(x−2y+z) dxdy=∬Dxy1 dxdy=14.\begin{aligned} \iint_{D_{xy}}\{(f+x)-2(f+y)+(f+z)\}\,\mathrm dx\mathrm dy &=\iint_{D_{xy}}(x-2y+z)\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=\iint_{D_{xy}}1\,\mathrm dx\mathrm dy =\frac14. \end{aligned}

四、Green 公式（8 分）

设 LL 为上半圆周 x2+y2=9x^2+y^2=9，方向为逆时针，求

∫L(2xy−2y) dx+(x2−4x) dy.\int_L(2xy-2y)\,\mathrm dx+(x^2-4x)\,\mathrm dy.
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补上从 (−3,0)(-3,0) 到 (3,0)(3,0) 的线段 CC，使 L+CL+C 成为正向闭曲线。由 Green 公式，

∮L+C(2xy−2y) dx+(x2−4x) dy=∬D[(2x−4)−(2x−2)] dxdy=−2⋅9π2=−9π.\begin{aligned} \oint_{L+C}(2xy-2y)\,\mathrm dx+(x^2-4x)\,\mathrm dy &=\iint_D[(2x-4)-(2x-2)]\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=-2\cdot\frac{9\pi}{2}=-9\pi. \end{aligned}

在线段 CC 上 y=0y=0 且 dy=0\mathrm dy=0，其积分为零，故原积分为 −9π-9\pi。

五、Gauss 公式（10 分）

计算

∬Sy2z dydz+3(x2+z2)y dzdx+x2y dxdy,\iint_S y^2z\,\mathrm dy\mathrm dz +3(x^2+z^2)y\,\mathrm dz\mathrm dx +x^2y\,\mathrm dx\mathrm dy,

其中 SS 为曲面 4−y=x2+z24-y=x^2+z^2（y>0y>0）的外侧。

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补上圆盘 S1:x2+z2≤4,y=0S_1:x^2+z^2\leq4, y=0，使其与 SS 围成闭曲面。S1S_1 上通量为零。向量场的散度为

∂(y2z)∂x+∂[3(x2+z2)y]∂y+∂(x2y)∂z=3(x2+z2).\frac{\partial(y^2z)}{\partial x} +\frac{\partial[3(x^2+z^2)y]}{\partial y} +\frac{\partial(x^2y)}{\partial z} =3(x^2+z^2).

以 yy 轴为柱坐标轴，记 r2=x2+z2r^2=x^2+z^2，由 Gauss 公式得

∬S⋯=3∫02π ⁣dθ∫02r3 dr∫04−r2 ⁣dy=32π.\begin{aligned} \iint_S\cdots &=3\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^2r^3\,\mathrm dr \int_0^{4-r^2}\!\mathrm dy\\ &=32\pi. \end{aligned}

六、Stokes 公式（14 分）

计算

∮Γ(y2+z2) dx+(z2+x2) dy+(x2+y2) dz,\oint_\Gamma(y^2+z^2)\,\mathrm dx +(z^2+x^2)\,\mathrm dy +(x^2+y^2)\,\mathrm dz,

其中 Γ\Gamma 是上半球面

x2+y2+z2=2Rx(z≥0,R>1)x^2+y^2+z^2=2Rx\qquad(z\geq0, R>1)

与圆柱面 x2+y2=2xx^2+y^2=2x 的交线；从 zz 轴正向看，Γ\Gamma 为逆时针方向。

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取球面上由 Γ\Gamma 围成的、法向量朝上的曲面 Σ\Sigma。向量场

F=(y2+z2,z2+x2,x2+y2)\mathbf F=(y^2+z^2,z^2+x^2,x^2+y^2)

的旋度为

∇×F=2(y−z,z−x,x−y).\nabla\times\mathbf F=2(y-z,z-x,x-y).

球面的单位法向量为 n=(x−R,y,z)/R\mathbf n=(x-R,y,z)/R，故

(∇×F)⋅n=2(z−y).(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n=2(z-y).

Σ\Sigma 关于 xzxz 平面对称，所以 ∬Σy dS=0\iint_\Sigma y\,\mathrm dS=0。又因

z=2Rx−x2−y2,dS=Rz dxdy,z=\sqrt{2Rx-x^2-y^2}, \qquad \mathrm dS=\frac Rz\,\mathrm dx\mathrm dy,

而 Σ\Sigma 在 xyxy 平面的投影是圆盘 (x−1)2+y2≤1(x-1)^2+y^2\leq1，由 Stokes 公式，

∮ΓF⋅dr=2∬Σz dS=2R∬(x−1)2+y2≤1 ⁣dxdy=2πR.\oint_\Gamma\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf r =2\iint_\Sigma z\,\mathrm dS =2R\iint_{(x-1)^2+y^2\leq1}\!\mathrm dx\mathrm dy =2\pi R.

七、附加题（10 分）

若在右半平面内，曲线积分

∫Lφ(y) dx+x dyx2+y2\int_L\frac{\varphi(y)\,\mathrm dx+x\,\mathrm dy}{x^2+y^2}

与路径无关，其中 φ\varphi 连续可导。

  1. 求 φ(y)\varphi(y)；

  2. 求满足

    du(x,y)=φ(y)x2+y2 dx+xx2+y2 dy,u(1,0)=0\mathrm du(x,y)=\frac{\varphi(y)}{x^2+y^2}\,\mathrm dx +\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm dy, \qquad u(1,0)=0

    的函数 u(x,y)u(x,y)。

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记

P=φ(y)x2+y2,Q=xx2+y2.P=\frac{\varphi(y)}{x^2+y^2}, \qquad Q=\frac{x}{x^2+y^2}.

路径无关要求 Py=QxP_y=Q_x。比较关于 xx 的各次项，得到 φ′(y)=−1\varphi'(y)=-1，再代回常数项得 φ(y)=−y\varphi(y)=-y。

此时

du=−y dx+x dyx2+y2.\mathrm du=\frac{-y\,\mathrm dx+x\,\mathrm dy}{x^2+y^2}.

在右半平面 x>0x>0 内，这是 arctan⁡(y/x)\arctan(y/x) 的全微分。由 u(1,0)=0u(1,0)=0，

u(x,y)=arctan⁡yx.u(x,y)=\arctan\frac yx.

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