2017–2018 学年春季期末真题

考试日期为 2018 年 6 月 28 日。源卷附答案，以下按原题整理。

一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）

1. 极坐标积分限

设 $D=\{(x,y)\mid(x-1)^2+(y-1)^2\leq2\}$，则 $\iint_Df(x,y)\,\mathrm dx\mathrm dy$ 的极坐标表示为（　）。

A. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\!\mathrm d\theta\int_0^{2(\sin\theta+\cos\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm dr$

B. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^{\sqrt2}f(r\cos\theta+1,r\sin\theta+1)\,\mathrm dr$

C. $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\!\mathrm d\theta\int_0^{2(\sin\theta+\cos\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm dr$

D. $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\!\mathrm d\theta\int_0^{2\sqrt2}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm dr$

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答案：C。边界化为 $r=2(\sin\theta+\cos\theta)$；右端非负要求 $-\pi/4\leq\theta\leq3\pi/4$。

2. 路径无关条件

积分

$$\int_Lxy^2\,\mathrm dx+y\phi(x)\,\mathrm dy$$

与路径无关，$\phi$ 有连续导数且 $\phi(0)=0$，则 $\phi(x)=$（　）。

A. $x^2$　B. $x^2+C$　C. $2x^2$　D. $0$

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答案：A。由 $P_y=Q_x$ 得 $2xy=y\phi'(x)$，故 $\phi'=2x$。再用 $\phi(0)=0$ 得 $\phi=x^2$。

3. 椭球面上的对称性

$\Sigma$ 是椭球面 $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$ 的外侧，$\Sigma_1$ 是右半椭球面。下列等式正确的是（　）。

A. $\displaystyle\iint_\Sigma y\,\mathrm dS=2\iint_{\Sigma_1}y\,\mathrm dS$

B. $\displaystyle\iint_\Sigma y\,\mathrm dz\mathrm dx=2\iint_{\Sigma_1}y\,\mathrm dz\mathrm dx$

C. $\displaystyle\iint_\Sigma y^2\,\mathrm dz\mathrm dx=2\iint_{\Sigma_1}y^2\,\mathrm dz\mathrm dx$

D. $\displaystyle\iint_\Sigma y\,\mathrm dz\mathrm dx=0$

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答案：B。$\mathrm dz\mathrm dx=n_y\,\mathrm dS$。反射 $x\mapsto-x$ 时 $y n_y$ 不变，因此全椭球积分是右半椭球积分的两倍。

4. Stokes 公式与曲面方向

$\Sigma$ 是单位球面外侧，$\Sigma_1,\Sigma_2$ 分别是上、下半球面；$\Sigma_3$ 是单位圆盘并取上侧。$\Gamma$ 是单位圆周，从 $z$ 轴正向看为逆时针。下列各式中，与

$$\oint_\Gamma xy\,\mathrm dx+yz\,\mathrm dy+zx\,\mathrm dz$$

不相等的是（　）。

A. $\displaystyle-\iint_{\Sigma_1}(y\,\mathrm dy\mathrm dz+z\,\mathrm dz\mathrm dx+x\,\mathrm dx\mathrm dy)$

B. $\displaystyle-\iint_{\Sigma_2}(y\,\mathrm dy\mathrm dz+z\,\mathrm dz\mathrm dx+x\,\mathrm dx\mathrm dy)$

C. $\displaystyle\iint_{\Sigma_2}(y\,\mathrm dy\mathrm dz+z\,\mathrm dz\mathrm dx+x\,\mathrm dx\mathrm dy)$

D. $\displaystyle-\iint_{\Sigma_3}(y\,\mathrm dy\mathrm dz+z\,\mathrm dz\mathrm dx+x\,\mathrm dx\mathrm dy)$

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答案：B。对 $\mathbf F=(xy,yz,zx)$ 用 Stokes 公式，并逐一核对各曲面的边界诱导方向；下半球外侧与题设圆周方向相反，因此 C 需保留正号，而 B 多加了负号。

5. 缩小球面上的平均值

$u$ 连续，$\Sigma_R$ 是以 $M(x_0,y_0,z_0)$ 为球心、$R$ 为半径的球面，则

$$\lim_{R\to0^+}\frac1{4\pi R^2}\iint_{\Sigma_R}u(x,y,z)\,\mathrm dS=(\quad).$$

A. $u(x_0,y_0,z_0)$　B. $u(0,0,0)$　C. $4u(x_0,y_0,z_0)/3$　D. $u(x_0,y_0,z_0)/2$

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答案：A。分母是球面积；由连续性，球面缩到 $M$ 时曲面平均值趋于 $u(M)$。

二、计算题（每小题 5 分，共 30 分）

1. 向量场的旋度

设 $\mathbf F=(2x,-4y,8z)$，求 $\operatorname{rot}\mathbf F$。

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各分量只依赖对应坐标，所有交叉偏导为零，故 $\operatorname{rot}\mathbf F=(0,0,0)$。

2. 改变积分次序

计算

$$\int_0^1\!\mathrm dx\int_x^1x\sin(y^3)\,\mathrm dy.$$

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区域为 $0\leq x\leq y\leq1$，换序得

$$\int_0^1\!\mathrm dy\int_0^yx\sin(y^3)\,\mathrm dx =\frac12\int_0^1y^2\sin(y^3)\,\mathrm dy =\frac{1-\cos1}{6}.$$

3. 偏心球内的三重积分

计算

$$\iiint_\Omega(z+2x+3y)\,\mathrm dV, \qquad \Omega=\{x^2+y^2+z^2\leq2z\}.$$

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$\Omega$ 是以 $(0,0,1)$ 为球心、1 为半径的球。由对称性，$x,y$ 两项积分为零，而 $z$ 的平均值为球心的 $z$ 坐标 1。因此

$$I=1\cdot\operatorname{Vol}(\Omega)=\frac{4\pi}{3}.$$

4. 椭圆周上的第一型曲线积分

计算

$$\oint_L\left(\frac3{10}x^2+\frac25y^2\right)\,\mathrm ds,$$

其中 $L:x^2/4+y^2/3=1$，其周长记为 $l$。

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在椭圆上 $3x^2+4y^2=12$，所以被积函数恒为 $6/5$。故结果为 $6l/5$。

5. 折线上的第二型曲线积分

计算

$$\int_L2xy\,\mathrm dx+x^2\,\mathrm dy,$$

其中 $L$ 是有向折线 $OAB$，$O(0,0)$、$A(1,0)$、$B(1,1)$。

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在 $OA$ 上 $y=0$、$\mathrm dy=0$，积分为零；在 $AB$ 上 $x=1$、$\mathrm dx=0$，故

$$\int_{AB}x^2\,\mathrm dy=\int_0^1\mathrm dy=1.$$

6. 圆柱侧面上的第一型曲面积分

设 $\Sigma:x^2+y^2=1$、$0\leq z\leq1$，计算

$$\iint_\Sigma\sqrt{1-x^2}\,\mathrm dS.$$

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参数化 $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$，则 $\mathrm dS=\mathrm d\theta\mathrm dz$，被积函数为 $|\sin\theta|$。所以

$$I=\int_0^1\!\mathrm dz\int_0^{2\pi}|\sin\theta|\,\mathrm d\theta=4.$$

三、第二型曲面积分（10 分）

计算

$$\iint_\Sigma\cos x\,\mathrm dy\mathrm dz +\sqrt{1-y^2}\,\mathrm dz\mathrm dx+z\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $\Sigma:z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，取上侧。

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投影到单位圆盘时，前两项分别含关于 $x$、$y$ 的奇因子，积分均为零。故

$$I=\iint_{x^2+y^2\leq1}\sqrt{1-x^2-y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy =\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1\sqrt{1-r^2}r\,\mathrm dr =\frac{2\pi}{3}.$$

四、利用 Green 公式（10 分）

计算

$$\oint_L\frac{x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx}{2x^2+3y^2},$$

其中 $L$ 是以 $(1,1)$ 为圆心、4 为半径的圆周，方向逆时针。

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原点在 $L$ 内且是奇点。在 $L$ 内挖去小椭圆 $l:2x^2+3y^2=\varepsilon^2$；环形区域内 $Q_x-P_y=0$，故外圆积分等于 $l$ 按逆时针方向的积分。令

$$x=\frac{\varepsilon}{\sqrt2}\cos t,\qquad y=\frac{\varepsilon}{\sqrt3}\sin t,\qquad0\leq t\leq2\pi,$$

则

$$\frac{x\,\mathrm dy-y\,\mathrm dx}{2x^2+3y^2}=\frac1{\sqrt6}\,\mathrm dt.$$

所以结果为 $2\pi/\sqrt6=\sqrt6\pi/3$。

五、利用 Gauss 公式（10 分）

计算

$$\iint_\Sigma x(z-2y+1)\,\mathrm dy\mathrm dz +y(x-z+2)\,\mathrm dz\mathrm dx +z(2y-x-1)\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $\Sigma:z=\sqrt{x^2+y^2}$、$0\leq z\leq1$，取下侧。

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补上顶面 $\Sigma_1:z=1$ 并取上侧。向量场散度为 2，故闭曲面通量为

$$\iiint_\Omega2\,\mathrm dV =\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^12(1-r)r\,\mathrm dr =\frac{2\pi}{3}.$$

顶面通量为

$$\iint_{x^2+y^2\leq1}(2y-x-1)\,\mathrm dx\mathrm dy=-\pi.$$

因此锥面通量为 $2\pi/3-(-\pi)=5\pi/3$。

六、利用 Stokes 公式（10 分）

计算

$$\oint_\Gamma(3y+2e^x)\,\mathrm dx+(3z-y^2)\,\mathrm dy+(3x+4e^z)\,\mathrm dz,$$

其中

$$\Gamma:\begin{cases} x^2+y^2+z^2=R^2,\\ x+y-z=0, \end{cases}$$

从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 为逆时针方向。

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取平面内的圆盘并取向上法向量 $(-1,-1,1)/\sqrt3$。向量场旋度与该单位法向量的点积为 $-\sqrt3$。截面是过球心的大圆盘，面积为 $\pi R^2$，故积分为

$$-\sqrt3\pi R^2.$$

七、确定两个函数（10 分）

确定 $f(x),g(x)$，满足 $f(0)=0$、$g(0)=1$，并使

$$\int_L\left[\frac{g(x)}2y^2-4f(x)y\right]\,\mathrm dx +[f(x)y+g(x)]\,\mathrm dy+z\,\mathrm dz$$

与路径无关。

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由 $P_y=Q_x$，比较 $y$ 的系数与常数项：

$$f'(x)=g(x),\qquad g'(x)=-4f(x).$$

故 $f''+4f=0$。结合 $f(0)=0$、$f'(0)=g(0)=1$，得到

$$f(x)=\frac12\sin2x,\qquad g(x)=\cos2x.$$