2018–2019 学年春季期末真题

考试日期为 2019 年 6 月 24 日。源卷附有答案，下面按原卷七个大题整理。

一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）

1. 极坐标换元

将

$$\int_0^2\!\mathrm dx\int_0^{\sqrt3x}f(\sqrt{x^2+y^2})\,\mathrm dy$$

化为极坐标下的二次积分（　）。

A. $\displaystyle\int_0^{\pi/3}\!\mathrm d\theta\int_0^{2/\cos\theta}f(r)\,\mathrm dr$

B. $\displaystyle\int_0^{\pi/3}\!\mathrm d\theta\int_0^{2/\cos\theta}f(r)r\,\mathrm dr$

C. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^{2/\cos\theta}f(r)r\,\mathrm dr$

D. $\displaystyle\int_0^{\pi/3}\!\mathrm d\theta\int_0^{2/\sin\theta}f(r)\,\mathrm dr$

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答案：B。区域由 $y=0$、$y=\sqrt3x$、$x=2$ 围成，故 $0\leq\theta\leq\pi/3$、$0\leq r\leq2/\cos\theta$，并须带 Jacobian $r$。

2. 积分公式判断

下列论断正确的是（　）。

A. $\displaystyle\int_0^1\!\mathrm dx\int_0^x f(x,y)\,\mathrm dy=\int_0^1\!\mathrm dy\int_0^y f(x,y)\,\mathrm dx$

B. $\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq a^2}f(x^2+y^2+z^2)\,\mathrm dV=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^\pi\!\mathrm d\varphi\int_0^a f(r^2)r^2\sin\varphi\,\mathrm dr$

C. 若 $D$ 由闭曲线 $L$ 围成，则 $\displaystyle\oint_LP\,\mathrm dy+Q\,\mathrm dx=\iint_D(Q_x-P_y)\,\mathrm dx\mathrm dy$

D. 若 $V$ 关于 $xOy$ 面对称且 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则 $\iiint_Vf\,\mathrm dV=0$

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答案：B。它是球坐标换元公式。A 的换序区域写错；C 交换了 $\mathrm dx,\mathrm dy$ 后仍沿用原 Green 公式符号；D 中被积函数关于 $z$ 为偶函数，积分一般不为零。

3. 缩小圆周上的平均值

设 $f$ 连续，$L_R:\,(x-1)^2+(y-1)^2=R^2$，则

$$\lim_{R\to0^+}\frac{\int_{L_R}f(x,y)\,\mathrm ds}{2\pi R}=(\quad).$$

A. $f(0,0)$　B. $2f(0,0)$　C. $f(1,1)$　D. $2f(1,1)$

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答案：C。分母就是圆周长；由连续性，圆周缩到 $(1,1)$ 时积分平均值趋于 $f(1,1)$。

4. 含参积分求导

设

$$F(x)=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^x f(t)\,\mathrm dt,$$

$f$ 连续，则 $F'(x)=$（　）。

A. $f(x)$　B. $\pi f(x)$　C. $2\pi f(x)$　D. $0$

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答案：C。外层积分只产生因子 $2\pi$，再用微积分基本定理即可。

5. 球面上的第一型曲面积分

设 $\Sigma:x^2+y^2+z^2=1$，则

$$\iint_\Sigma(x^2+y^2)\,\mathrm dS=(\quad).$$

A. $2\pi/3$　B. $4\pi/3$　C. $2\pi$　D. $8\pi/3$

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答案：D。由轮换对称性，$\iint x^2\,\mathrm dS=\iint y^2\,\mathrm dS=\iint z^2\,\mathrm dS$，三者之和为球面积 $4\pi$，故所求为 $2\cdot4\pi/3$。

二、计算题（每小题 5 分，共 30 分）

1. 梯度与梯度场的旋度

设 $f(x,y,z)=x^2+2yz+xz$，求 $\nabla f$ 以及 $\nabla\times(\nabla f)$。

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$$\nabla f=(2x+z,,2z,,2y+x),$$

混合偏导相等，因此

$$\nabla\times(\nabla f)=\mathbf0.$$

2. 圆环上的二重积分

计算

$$\iint_D\frac1{1+x^2+y^2}\,\mathrm dx\mathrm dy, \qquad D:\ 1\leq x^2+y^2\leq4.$$

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$$\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_1^2\frac{r}{1+r^2}\,\mathrm dr =\pi\ln\frac52.$$

3. 圆锥体内的三重积分

计算

$$\iiint_\Omega(x+y+z)\,\mathrm dV, \qquad \Omega=\{(x,y,z)\mid\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq1\}.$$

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区域关于 $x,y$ 对称，所以 $x,y$ 两项的积分为零。于是

$$\begin{aligned} I&=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1r\,\mathrm dr \int_r^1z\,\mathrm dz\\ &=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1\frac12(1-r^2)r\,\mathrm dr =\frac\pi4. \end{aligned}$$

4. 螺线上的第一型曲线积分

计算 $\displaystyle\int_L(x^2+y^2+z^2)\,\mathrm ds$，其中

$$x=3\cos t,\quad y=3\sin t,\quad z=4t,quad0\leq t\leq2\pi.$$

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$\mathrm ds=\sqrt{9+16}\,\mathrm dt=5\,\mathrm dt$，且 $x^2+y^2+z^2=9+16t^2$。所以

$$I=\int_0^{2\pi}5(9+16t^2)\,\mathrm dt =90\pi+\frac{640\pi^3}{3}.$$

5. 椭圆弧上的第二型曲线积分

计算

$$\int_L(x+y)\,\mathrm dx+(y-x)\,\mathrm dy,$$

其中 $L$ 从 $(2,0)$ 沿上半椭圆 $x^2/4+y^2/9=1$ 到 $(-2,0)$。

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令 $x=2\cos t$、$y=3\sin t$，$0\leq t\leq\pi$，则

$$I=\int_0^\pi(5\sin t\cos t-6)\,\mathrm dt=-6\pi.$$

6. 平面片上的第一型曲面积分

设 $\Sigma$ 是第一卦限内的平面片

$$6x+4y+3z=12,\qquad x,y,z\geq0,$$

计算

$$\iint_\Sigma\left(\frac x2+\frac y3+\frac z4\right)\,\mathrm dS.$$

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在 $\Sigma$ 上，被积函数等于 $(6x+4y+3z)/12=1$，所以题目就是求平面片面积。写成 $z=4-2x-4y/3$，有

$$\mathrm dS=\frac{\sqrt{61}}3\,\mathrm dx\mathrm dy.$$

其 $xOy$ 投影由 $x,y\geq0$、$3x+2y\leq6$ 给出，面积为 3，故结果为 $\sqrt{61}$。

三、第二型曲面积分（10 分）

计算

$$\iint_\Sigma y^3z^2\,\mathrm dy\mathrm dz+(z+1)\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $\Sigma$ 是上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧。

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投影到 $xOy$ 面时 $\mathrm dy\mathrm dz=(x/z)\,\mathrm dx\mathrm dy$。第一项含因子 $xy^3$，在单位圆盘上积分为零。故

$$I=\iint_{x^2+y^2\leq1}\left(\sqrt{1-x^2-y^2}+1\right)\,\mathrm dx\mathrm dy.$$

极坐标计算得

$$I=\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1(\sqrt{1-r^2}+1)r\,\mathrm dr =\frac{5\pi}{3}.$$

四、利用 Green 公式（10 分）

$L$ 是以 $(2,0)$ 为圆心、4 为半径的圆周，方向逆时针。计算

$$\oint_L\frac{y\,\mathrm dx+(2-x)\,\mathrm dy}{(x-2)^2+y^2}.$$

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被积函数在 $(2,0)$ 有奇点。在 $L$ 内挖去以该点为圆心、半径为 $r$ 的小圆，在环形区域上 $Q_x-P_y=0$，所以外圆积分等于小圆按逆时针方向的积分。参数化 $x-2=r\cos t$、$y=r\sin t$，直接得到

$$\oint_L=-2\pi.$$

五、利用 Gauss 公式（10 分）

计算

$$\iint_S(y-z+x^2)\,\mathrm dy\mathrm dz +(z-x+y^2)\,\mathrm dz\mathrm dx +(x-y+z^2)\,\mathrm dx\mathrm dy,$$

其中 $S:z=\sqrt{x^2+y^2}$、$0\leq z\leq1$，方向取下侧。

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补上顶面 $S_1:z=1$ 并取上侧。向量场散度为 $2(x+y+z)$。由对称性，闭曲面通量为

$$\iiint_\Omega2z\,\mathrm dV =\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\theta\int_0^1r\,\mathrm dr\int_r^12z\,\mathrm dz =\frac\pi2.$$

顶面通量为

$$\iint_{x^2+y^2\leq1}(x-y+1)\,\mathrm dx\mathrm dy=\pi.$$

故锥面的所求通量为 $\pi/2-\pi=-\pi/2$。

六、路径无关积分（10 分）

已知

$$\int_Lxy^2\,\mathrm dx+yf(x)\,\mathrm dy$$

与路径无关，$f$ 有连续导数且 $f(0)=0$。计算从 $(0,0)$ 到 $(2,2)$ 的该积分。

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路径无关要求 $2xy=yf'(x)$，故 $f'(x)=2x$。由 $f(0)=0$ 得 $f(x)=x^2$。势函数可取 $u=x^2y^2/2$，所以积分为

$$u(2,2)-u(0,0)=8.$$

七、利用 Stokes 公式（10 分）

计算

$$\oint_L(z-y)\,\mathrm dx+(x-z)\,\mathrm dy+(y-x)\,\mathrm dz,$$

其中 $L$ 是以 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ 为顶点的三角形边界；从 $x$ 轴正向看过去，方向为逆时针。

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取三角形面 $\Sigma:x+y+z=1$，方向取上侧，单位法向量为 $(1,1,1)/\sqrt3$。向量场旋度为 $(2,2,2)$，故与单位法向量的点积为 $2\sqrt3$。投影到 $xOy$ 面，$\mathrm dS=\sqrt3\,\mathrm dx\mathrm dy$，而投影三角形面积为 $1/2$，所以

$$\oint_L=2\sqrt3\cdot\sqrt3\cdot\frac12=3.$$