速成 · 基础物理学 A

这门课横跨力学、狭义相对论和电磁学，但解题方式高度统一：

1. 选研究对象和参考系；
2. 利用对称性判断方向与不变量；
3. 写局部定律或守恒律；
4. 处理边界、初始条件和正负号；
5. 用量纲与极限检查结果。

力学：先决定用哪条主线

运动学

$$\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{dt},\qquad \mathbf a=\frac{d\mathbf v}{dt}.$$

平面极坐标：

$$\mathbf v=\dot r\,\mathbf e_r+r\dot\theta\,\mathbf e_\theta,$$ $$\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r +(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta.$$

圆周运动的切向、法向分量：

$$a_\tau=\frac{dv}{dt},\qquad a_n=\frac{v^2}{R}.$$

三个守恒律

线动量：

$$\frac{d\mathbf P}{dt}=\mathbf F_{\mathrm{ext}}, \qquad \Delta\mathbf P=\int\mathbf F_{\mathrm{ext}}dt.$$

机械能：

$$K=\frac12mv^2,\qquad W_{\mathrm{net}}=\Delta K.$$

保守力 $\mathbf F=-\nabla U$，若只有保守力做功，则 $K+U$ 守恒。

角动量：

$$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p,\qquad \frac{d\mathbf L}{dt}=\boldsymbol\tau_{\mathrm{ext}}.$$

选哪条取决于题目：

• 碰撞、爆炸、短时冲量：动量；
• 只问位置与速度、路径上有保守力：能量；
• 绕点运动、中心力：角动量；
• 需要时间或约束力：通常回到牛顿第二定律。

质心与刚体

$$\mathbf R_C=\frac1M\sum_im_i\mathbf r_i, \qquad M\mathbf a_C=\mathbf F_{\mathrm{ext}}.$$

定轴刚体：

$$\tau=I\alpha,\qquad K=\frac12I\omega^2.$$

平行轴定理：

$$I=I_C+Md^2.$$

纯滚动约束 $v_C=\omega R$；静摩擦未必做功，也未必等于 $\mu_sN$，其数值由动力学方程决定。

相对论：不变量比“谁变慢”更可靠

$$\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

洛伦兹变换：

$$x'=\gamma(x-vt),\qquad t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right).$$

固有时在两个事件同地的参考系测量：

$$\Delta t=\gamma\Delta\tau.$$

固有长度在物体静止系测量：

$$L=\frac{L_0}{\gamma}.$$

时空间隔

$$c^2\Delta t^2-\Delta x^2$$

在惯性系间不变。相对论动量与能量：

$$\mathbf p=\gamma m\mathbf v,\qquad E=\gamma mc^2,$$ $$E^2=p^2c^2+m^2c^4.$$

静电场：离散电荷叠加，连续分布用对称性

$$\mathbf E(\mathbf r)= \frac1{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{\mathbf r-\mathbf r'} {|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,dq.$$

高斯定律：

$$\oint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S =\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}.$$

只有球、柱、平面等高对称情况，高斯定律才能直接求场。

电势：

$$V(B)-V(A)=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l, \qquad \mathbf E=-\nabla V.$$

势是标量，叠加比场更容易。导体静电平衡时内部场为零、整体等势、净电荷在表面，表面外法向场满足 $E_n=\sigma/\varepsilon_0$。

电容器：

$$C=\frac Q{\Delta V},\qquad U=\frac12C(\Delta V)^2 =\frac{Q^2}{2C}.$$

插介质后先判断电源是否仍连接：接电源时电压不变，断开时自由电荷不变。

磁场与电磁感应

洛伦兹力：

$$\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B).$$

磁力不做功，只改变速度方向。匀强磁场中垂直运动：

$$R=\frac{mv}{|q|B},\qquad \omega_c=\frac{|q|B}{m}.$$

Biot–Savart：

$$d\mathbf B= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,d\mathbf l\times\hat{\mathbf r}}{r^2}.$$

安培环路定律：

$$\oint\mathbf B\cdot d\mathbf l =\mu_0I_{\mathrm{enc}}$$

适用于稳恒电流，并要有足够对称性才能直接解场。

Faraday 定律：

$$\mathcal E=-\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

负号是 Lenz 定律：感应效应反抗磁通的变化。动生电动势也可写

$$\mathcal E=\oint (\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\mathbf l.$$

电感储能：

$$U_L=\frac12LI^2.$$

Maxwell 方程组

$$\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0,$$ $$\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},$$ $$\nabla\times\mathbf B= \mu_0\mathbf J+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}.$$

位移电流项使变化电场也能产生磁场，并导出真空电磁波速度

$$c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$

考场检查

• 矢量方向是否由右手定则或坐标基明确给出；
• 功、通量、环量的正负是否与所选方向一致；
• 守恒律是否真的满足“外冲量/外力矩/非保守功为零”；
• 高斯面或安培回路是不是只利用了定律，却没有足够对称性；
• 相对论中的长度是否为同时测量，时间是否为同地事件；
• 答案在 $v\ll c$、距离趋远、介质退化为真空等极限下是否回到熟悉结果。