2013—2014 学年秋季学期真题 · 期中

源文件不完整：“13 期中（含答案）”转换后只有 2 页。封面之后的第二页仅保留第一大题的第 1、2 题及第 3 题题面开头；原卷标注本大题共 8 小题，后续页面和答案均不在源文件中。下文只转录能够直接核对的内容，不补造缺失题目。

考试日期为 2013 年 11 月 27 日。

一、计算与证明（原卷标注每题 5 分，共 40 分）

1. 用定义证明数列极限

用 $\varepsilon$—$N$ 定义证明

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0.$$

查看源文件中的证明

给定 $\varepsilon>0$，取 $N>1/\varepsilon$。当 $n>N$ 时，

$$0\le\frac{n!}{n^n} =\frac n n\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac2n\cdot\frac1n \le\frac1n<\varepsilon.$$

因此 $n!/n^n\to0$。

2. 幂指函数极限

计算

$$\lim_{x\to0} \left(1+x^2e^x\right)^{1/(1-\cos x)}.$$

查看源文件中的答案

取对数后，

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2e^x)}{1-\cos x} =\lim_{x\to0}\frac{x^2e^x}{x^2/2}=2.$$

故原极限为

$$\boxed{e^2}.$$

3. 参数方程求导

设

$$\begin{cases} x=\arctan t,\\ y=\ln(1+t^2), \end{cases}$$

求 $dy/dx$ 与 $d^2y/dx^2$。

源文件在题面之后即结束，没有保留本题答案，也没有后续五题及其答案。