2016—2017 学年秋季学期真题 · 期末

考试时间为 2017 年 1 月 6 日 8:00—10:00。以下题面按 A 卷转录，答案依据随卷评分答案整理。

一、单项选择题（每题 4 分，共 24 分）

1. Riemann 和

求

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{n}.$$

• A. $2/\pi$
• B. $\pi/2$
• C. $\pi$
• D. $2$

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答案：A。

这是函数 $\sin(\pi x)$ 在 $[0,1]$ 上积分的 Riemann 和：

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{n} =\int_0^1\sin(\pi x)\,dx =\frac2\pi.$$

2. 广义积分比较

若

$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p+x^q}, \qquad p>q,$$

收敛，则 $p,q$ 满足：

• A. $p<1$
• B. $q<1$
• C. $p\ge1$
• D. $q\ge1$

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答案：C。

因为 $p>q$，当 $x\to+\infty$ 时，$x^p+x^q\sim x^p$，所以积分实际收敛当且仅当 $p>1$。在给出的选项中，由此必然成立的是 $p\ge1$。

3. 变上限积分

设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，下列结论正确的是：

• A. $\displaystyle\frac d{dx}\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)+C$
• B. $\displaystyle\int f'(x)\,dx=f(x)$
• C. $\displaystyle\left(\int_1^2f(t)\,dt\right)'=f(t)$
• D. $\displaystyle\left(\int_1^xf(t)\,dt\right)'=f(x)$

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答案：D。

D 是微积分基本定理。A 求导后不应再出现积分常数；B 的不定积分应带任意常数；C 是常数对外部变量求导，结果为 $0$。

4. 积分方程

设 $f(x)\in C[0,+\infty)$，$f(x)\ge0$，且

$$f(x)=\int_0^xf(t)\,dt.$$

则关于 $f(x)$ 的正确结论是：

• A. 无界
• B. 严格单调
• C. 任意阶可导
• D. 不恒等于零

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答案：C。

由积分方程先得 $f'(x)=f(x)$，并且 $f(0)=0$。因此唯一解为 $f\equiv0$。零函数有任意阶导数，所以 C 正确，其余三项均不正确。

5. 奇偶性与定积分

计算

$$\int_{-1}^1\frac{x^2}{1+x^2} \left(1+\sin^3x\cos^2x\right)dx.$$

• A. $0$
• B. $\pi/2$
• C. $2-\pi/2$
• D. $2$

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答案：C。

含 $\sin^3x\cos^2x$ 的部分是奇函数，在对称区间上的积分为 $0$。所以

$$\begin{aligned} I &=2\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx\\ &=2\int_0^1\left(1-\frac1{1+x^2}\right)dx =2-\frac\pi2. \end{aligned}$$

6. 广义积分敛散性

下列广义积分收敛的是：

• A. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$
• B. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x}\,dx$
• C. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt x}$
• D. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1+\sin x}{x}\,dx$

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答案：B。

B 中 $x^{-1/2}$ 单调趋于 $0$，而 $\int_1^A\sin x\,dx$ 一致有界，由 Dirichlet 判别法可知收敛。A、C 都与幂积分判别矛盾；D 含有发散的 $\int_1^{+\infty}dx/x$，而振荡项不能抵消其正向发散。

二、计算证明题（每题 6 分，共 30 分）

1. 分部积分

计算

$$\int\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx.$$

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注意

$$\frac d{dx}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) =\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$

分部积分得

$$\boxed{ x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}+C }.$$

2. 有理函数积分

计算

$$\int\frac{x-2}{x^2+2x+3}\,dx.$$

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把分子写成 $[2x+2]/2-3$，并把分母配成 $(x+1)^2+2$：

$$\begin{aligned} \int\frac{x-2}{x^2+2x+3}dx &=\frac12\ln(x^2+2x+3)\\ &\quad-\frac3{\sqrt2}\arctan\frac{x+1}{\sqrt2}+C. \end{aligned}$$

3. 三角函数积分

证明

$$\int_0^{\pi/2}\sin^{2016}x\,dx =\int_0^{\pi/2}\cos^{2016}x\,dx.$$

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在左侧积分中令 $x=\pi/2-t$，则 $dx=-dt$，且 $\sin x=\cos t$。换限后立刻得到右侧积分。

4. 无穷积分

计算

$$\int_0^{+\infty}x^5e^{-x^2}dx.$$

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令 $u=x^2$，则 $x^5dx=u^2du/2$：

$$\int_0^{+\infty}x^5e^{-x^2}dx =\frac12\int_0^{+\infty}u^2e^{-u}du =\frac12\Gamma(3) =\boxed1.$$

5. 瑕积分

计算

$$\int_0^1\frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x}}.$$

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$x=1$ 是瑕点。令 $t=\sqrt{1-x}$，则 $x=1-t^2$、$dx=-2t\,dt$：

$$\int_0^1\frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x}} =2\int_0^1\frac{dt}{1+t^2} =\boxed{\frac\pi2}.$$

三、积分定义的函数（6 分）

设 $f(x)>0$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，

$$G(x)=\frac{\displaystyle\int_0^xtf(t)\,dt} {\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt}.$$

证明 $G(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增。

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由商的求导法则，

$$\begin{aligned} G'(x) &=\frac{xf(x)\int_0^xf(t)dt -f(x)\int_0^xtf(t)dt} {\left(\int_0^xf(t)dt\right)^2}\\ &=\frac{\int_0^x(x-t)f(x)f(t)dt} {\left(\int_0^xf(t)dt\right)^2}. \end{aligned}$$

当 $x>0$ 时，分母为正；分子中的被积函数非负且不恒为零，故分子也为正。因此 $G'(x)>0$，$G$ 严格递增。

四、切线、面积与旋转体（10 分）

考虑曲线 $y=f(x)=\ln x$，$x\in[1,2]$。过曲线上任意一点 $(x,f(x))$ 作切线，该切线与 $x$ 轴的交点记为 $(g(x),0)$。记曲线 $g(x)$ 与 $x$ 轴所围成的曲边梯形为 $D$。

1. 求 $g(x)$；
2. 求 $D$ 的面积；
3. 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

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在点 $(x,\ln x)$ 处，切线斜率为 $1/x$。令切线上的横坐标为 $X$，则

$$y-\ln x=\frac1x(X-x).$$

令 $y=0$，得到

$$g(x)=x-x\ln x=x(1-\ln x).$$

在 $[1,2]$ 上 $g(x)\ge0$，所以面积为

$$S_D=\int_1^2g(x)dx =\boxed{\frac94-2\ln2}.$$

旋转体体积为

$$V=\pi\int_1^2[g(x)]^2dx =\pi\int_1^2x^2(1-\ln x)^2dx.$$

计算得到

$$\boxed{ V=\pi\left[ \frac{119}{27}-\frac{64}{9}\ln2 +\frac83(\ln2)^2 \right] }.$$

五、常微分方程（10 分）

求二阶线性非齐次常微分方程

$$y''-y'+y=(\sin x)e^{-x}$$

的通解。

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特征方程 $\lambda^2-\lambda+1=0$ 的根为

$$\lambda_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}.$$

齐次通解为

$$Y=e^{x/2}\left[ C_1\cos\frac{\sqrt3x}{2} +C_2\sin\frac{\sqrt3x}{2} \right].$$

设非齐次特解为

$$y^*=e^{-x}(A\cos x+B\sin x).$$

代入并比较 $\cos x$、$\sin x$ 的系数，得到

$$2A-3B=0, \qquad 3A+2B=1,$$

所以 $A=3/13$、$B=2/13$。通解为

$$\boxed{ y=e^{x/2}\left[ C_1\cos\frac{\sqrt3x}{2} +C_2\sin\frac{\sqrt3x}{2} \right] +e^{-x}\left(\frac3{13}\cos x+\frac2{13}\sin x\right) }.$$

六、含参数广义积分（10 分）

讨论 $p$ 取何值时

$$\int_1^{+\infty}\frac{\sin(x^2)}{x^p}dx$$

收敛，并判定条件收敛与绝对收敛。

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令 $t=x^2$，得到

$$\int_1^{+\infty}\frac{\sin(x^2)}{x^p}dx =\frac12\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{(p+1)/2}}dt.$$

当 $(p+1)/2>0$，即 $p>-1$ 时，幂因子单调趋于 $0$，由 Dirichlet 判别法知积分收敛。

绝对收敛需要 $(p+1)/2>1$，即 $p>1$。在 $-1<p\le1$ 时原积分收敛而绝对值积分发散，因此条件收敛。$p\le-1$ 时被积振荡项的振幅不趋于 $0$，积分发散。

结论：

• $p>1$：绝对收敛；
• $-1<p\le1$：条件收敛；
• $p\le-1$：发散。

七、积分不等式（10 分）

设函数 $f(x)\ge0$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减，$0<\alpha<\beta<1$。证明

$$\int_0^\alpha f(x)dx \ge\frac\alpha\beta\int_\alpha^\beta f(x)dx.$$

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由积分中值定理，存在 $\xi\in[0,\alpha]$ 与 $\eta\in[\alpha,\beta]$，使

$$\frac1\alpha\int_0^\alpha f(x)dx=f(\xi),$$ $$\frac1{\beta-\alpha}\int_\alpha^\beta f(x)dx=f(\eta).$$

因为 $f$ 单调递减且 $\xi\le\eta$，所以 $f(\xi)\ge f(\eta)$。于是

$$\int_0^\alpha f(x)dx \ge\frac\alpha{\beta-\alpha}\int_\alpha^\beta f(x)dx.$$

又因 $\beta-\alpha<\beta$，右侧不小于

$$\frac\alpha\beta\int_\alpha^\beta f(x)dx,$$

故题设不等式成立。

八、附加题（10 分）

设可导函数 $f(x)$ 的反函数为 $g(x)$，$f(0)=0$，且

$$f(x)=x^2-2\int_0^{f(x)}g(t)dt.$$

求 $\displaystyle\int_0^1f(x)dx$。

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对等式求导：

$$f'(x)=2x-2g(f(x))f'(x).$$

由反函数关系 $g(f(x))=x$，所以

$$f'(x)=\frac{2x}{1+2x}.$$

结合 $f(0)=0$，积分得到

$$f(x)=\int_0^x\frac{2t}{1+2t}dt =x-\frac12\ln(1+2x).$$

因此

$$\begin{aligned} \int_0^1f(x)dx &=\int_0^1\left[x-\frac12\ln(1+2x)\right]dx\\ &=\boxed{1-\frac34\ln3}. \end{aligned}$$