2021—2022 学年秋季学期真题 · 期末

一、选择题（每题 4 分，共 20 分）

1. 定积分比较

设

$$I_1=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(1+x)^2}{1+x^2}\,\mathrm dx, \quad I_2=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\cos x)\,\mathrm dx, \quad I_3=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\,\mathrm dx.$$

判断三者的大小关系。

• A. $I_1<I_2<I_3$
• B. $I_3<I_2<I_1$
• C. $I_1<I_3<I_2$
• D. $I_3<I_1<I_2$

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答案为 D。利用奇偶性可得 $I_1=\pi$、$I_2=\pi+2$、$I_3=\pi/2$。

2. 由复合函数的导数求原函数

设 $f'(\sin x)=\cot^2x$，则 $f(x)$ 是哪一项？

• A. $x^{-2}-1+C$
• B. $\dfrac{x^2}{1-x^2}+C$
• C. $-\dfrac1x-x+C$
• D. $\dfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}-x+C$

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答案为 C。令 $u=\sin x$，则

$$\cot^2x=\frac{1-u^2}{u^2}=\frac1{u^2}-1.$$

所以

$$f(u)=\int\left(\frac1{u^2}-1\right)\,\mathrm du =-\frac1u-u+C.$$

3. 极限证明方法

在证明

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1x^n(1+x)\,\mathrm dx=0$$

的四种方法中，错误的是哪一项？

• A. 直接积分后取极限
• B. 用 $0\le x^n(1+x)\le2x^n$ 夹逼
• C. 用积分中值定理写成 $\xi^n\int_0^1(1+x)\,\mathrm dx$，并直接断言 $\xi^n\to0$
• D. 用积分中值定理写成 $(1+\xi)\int_0^1x^n\,\mathrm dx$

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答案为 C。积分中值定理中的 $\xi$ 会随 $n$ 变化，不能仅由 $0<\xi<1$ 就推出 $\xi^n\to0$。

4. 广义积分敛散性

以下三个广义积分中，收敛的是哪些？

$$(1)\ \int_0^1\frac{x^4}{\sqrt{1-x}}\,\mathrm dx, \qquad (2)\ \int_2^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x\ln x}, \qquad (3)\ \int_1^{+\infty}\frac{\arctan(1/x)}x\,\mathrm dx.$$

• A. (1)(2)
• B. (1)(3)
• C. (2)(3)
• D. (1)(2)(3)

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答案为 B。(1) 在 $x=1$ 附近与 $1/\sqrt{1-x}$ 同阶，收敛；(2) 是典型的对数发散积分；(3) 中

$$\frac{\arctan(1/x)}x\sim\frac1{x^2},$$

故收敛。

5. 由通解反推微分方程

以

$$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}+\cos x$$

为通解的微分方程是：

• A. $y''+y'-2y=-\sin x-3\cos x$
• B. $y''-y'-2y=\sin x-4\cos x$
• C. $y''-2y'+y=2\sin x$
• D. $y''+4y'+4y=-4\sin x+3\cos x$

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答案为 A。特征根为 $1,-2$，故齐次算子为 $D^2+D-2$；将 $\cos x$ 代入得到右端 $-\sin x-3\cos x$。

二、计算证明题（每题 6 分，共 30 分）

1. 不定积分

计算 $\int e^{\sqrt x}\,\mathrm dx$。

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令 $t=\sqrt x$，则

$$\int e^{\sqrt x}\,\mathrm dx =\int2te^t\,\mathrm dt =2(t-1)e^t+C =2(\sqrt x-1)e^{\sqrt x}+C.$$

2. 广义积分

计算

$$\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)^2}\,\mathrm dx.$$

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分部积分得

$$\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)^2}\,\mathrm dx =\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x(1+x)} =\ln2.$$

3. 利用微分关系求积分

设

$$f''(x)=af(x)g^2(x), \qquad g''(x)=bg(x)f^2(x), \qquad a\ne b.$$

证明

$$\int f^2(x)g^2(x)\,\mathrm dx =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{a-b}+C.$$

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直接求导右端分子：

$$\bigl(f'g-fg'\bigr)'=f''g-fg'' =(a-b)f^2g^2.$$

两边除以 $a-b$ 即得结论。

4. 含参积分求导

已知 $\varphi(x)$ 在 $\mathbb R$ 上连续，令

$$F(x)=\int_0^x t\varphi(x-t)\,\mathrm dt.$$

求 $F''(x)$。

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令 $u=x-t$，则

$$F(x)=\int_0^x(x-u)\varphi(u)\,\mathrm du.$$

因此

$$F'(x)=\int_0^x\varphi(u)\,\mathrm du, \qquad F''(x)=\varphi(x).$$

5. 分部积分

设 $f$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，且

$$f(2)=\frac12, \qquad f'(2)=0, \qquad \int_0^2f(x)\,\mathrm dx=1.$$

求

$$\int_0^1x^2f''(2x)\,\mathrm dx.$$

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连续两次分部积分：

$$\begin{aligned} \int_0^1x^2f''(2x)\,\mathrm dx &=-\int_0^1xf'(2x)\,\mathrm dx\\ &=-\frac14+\frac12\int_0^1f(2x)\,\mathrm dx\\ &=-\frac14+\frac14\int_0^2f(t)\,\mathrm dt=0. \end{aligned}$$

三、积分方程与微分方程（10 分）

设 $f$ 满足

$$f'(x)+2f(x)+5\int_0^xf(t)\,\mathrm dt=10\sin x, \qquad f(0)=f'(0)=0.$$

1. 写出 $f$ 满足的二阶微分方程；
2. 求 $f(x)$。

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对原式求导：

$$f''+2f'+5f=10\cos x.$$

特征根为 $-1\pm2i$，取特解 $2\cos x+\sin x$。结合初值，得到

$$f(x)=-2e^{-x}\cos2x-\frac32e^{-x}\sin2x +\sin x+2\cos x.$$

四、旋转体体积最值（10 分）

设曲线

$$y=3ax^2+2bx+\ln c$$

经过原点，且 $0\le x\le1$ 时 $y\ge0$。曲线与 $x=1$、$x$ 轴围成区域 $D$，已知 $D$ 的面积为 $1$。求 $a,b,c$，使 $D$ 绕 $x$ 轴所得旋转体体积最小。

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过原点给出 $c=1$；面积条件给出 $a+b=1$。体积为

$$V=\pi\int_0^1(3ax^2+2bx)^2\,\mathrm dx =\pi\left(\frac95a^2+3ab+\frac43b^2\right).$$

令 $b=1-a$，化为

$$V=\pi\left(\frac{2}{15}a^2+\frac13a+\frac43\right).$$

故最小值在

$$a=-\frac54, \qquad b=\frac94, \qquad c=1$$

处取得。

五、条件收敛的参数范围（10 分）

设 $p>0,q>0$，求 $p,q$ 满足什么条件时

$$\int_1^{+\infty}\frac{\sin2x}{x^p(1+x^q)}\,\mathrm dx$$

条件收敛。

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记

$$\varphi(x)=\frac1{x^p(1+x^q)}.$$

$\varphi(x)$ 单调趋于 $0$，所以 Dirichlet 判别法保证原积分收敛。绝对值积分在 $p+q\le1$ 时发散，因此条件为

$$p+q\le1.$$

六、含积分的极限（10 分）

设 $f$ 连续，且 $f(0)=0,f'(0)=1$。求

$$\lim_{x\to0} \frac{\displaystyle\int_0^x \left[(2-t)^2\int_0^tf(u)\,\mathrm du\right]\mathrm dt}{x^3}.$$

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依次使用洛必达法则：

$$\begin{aligned} L &=\lim_{x\to0}(2-x)^2 \frac{\int_0^xf(u)\,\mathrm du}{3x^2}\\ &=4\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{6x} =\frac23f'(0)=\frac23. \end{aligned}$$

七、零点与 Rolle 定理（10 分）

设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的可导函数，满足

$$f(0)>0, \qquad f(1)>0, \qquad \int_0^1f(x)\,\mathrm dx=0.$$

1. 证明 $f$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个零点；
2. 证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$，使

$$f'(\xi)+3f^3(\xi)=0.$$

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若 $f$ 在区间内处处非负，则因端点为正且连续，积分应为正，与题设矛盾。因此存在 $x_0\in(0,1)$ 使 $f(x_0)<0$。分别在 $[0,x_0]$ 与 $[x_0,1]$ 使用零点定理，得到两个零点 $x_1<x_2$。

令

$$F(x)=f(x)e^{\int_0^x3f^2(t)\,\mathrm dt}.$$

则 $F(x_1)=F(x_2)=0$。由 Rolle 定理，存在 $\xi\in(x_1,x_2)$ 使 $F'(\xi)=0$。又

$$F'(x)=e^{\int_0^x3f^2(t)\,\mathrm dt} \left[f'(x)+3f^3(x)\right],$$

故结论成立。