速成 · 工科数学分析上

上册要建立的是一套处理连续变化的语言。十章内容落到考场上，主要反复做三件事：

1. 用极限把“无限接近”说严谨；
2. 用导数描述局部变化，用积分累计局部贡献；
3. 把定义和定理变成计算、估计与证明工具。

复习路线

主线	核心问题	后续用途
实数与数列极限	一个无限过程什么时候有确定结果？	函数极限、积分定义、级数
函数极限与连续	函数在一点附近和一个区间上表现怎样？	导数、闭区间定理、近似
导数与 Taylor 公式	局部变化率是多少？函数能否用多项式逼近？	单调性、极值、凹凸、极限、误差估计
不定积分与定积分	怎样从变化率找回函数？怎样累计无穷多个小量？	面积、体积、物理量、微分方程
广义积分	区间无穷或函数无界时还能积分吗？	敛散性与条件收敛
常微分方程	已知量与变化率的关系，怎样求未知函数？	一阶方程、二阶常系数线性方程

极限：先辨对象，再选工具

定义是所有技巧的底座

数列极限

$$\lim_{n\to\infty}a_n=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ n>N\Rightarrow |a_n-A|<\varepsilon .$$

函数极限

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$$

两者都在说：误差要求可以任意严格，而且从某个阶段起一直满足。证明题里，先从目标不等式倒推 $N$ 或 $\delta$；正式书写时再按定义的顺序正推。

数列极限的路线

• 有显式通项：先化简、夹逼、等价量或 Stolz 定理。
• 有递推式：通常证明“单调 + 有界”，再对递推关系取极限。
• 要证明收敛但猜不到极限：考虑 Cauchy 收敛准则。
• 要证明发散：找无界性，或找两个极限不同的子列。

单调有界定理只给“收敛”，不自动给极限值。极限值通常还要代回递推式，并结合数列取值范围排除伪根。

函数极限的计算顺序

1. 直接代入；能用连续性就不要复杂化。
2. 判断不定式：$0/0$、$\infty/\infty$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$。
3. 优先代数化简、等价无穷小和 Taylor 展开。
4. 满足条件时再用 L’Hospital 法则。

常用等价量只可在乘除结构中直接替换：

$$\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},\quad e^x-1\sim x,$$ $$\ln(1+x)\sim x,\quad (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x \qquad (x\to0).$$

加减结构不能机械替换，因为低阶项可能恰好抵消。此时应多展开一阶，例如

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

幂指型先取对数。若 $u(x)>0$ 且 $u(x)^{v(x)}$ 为 $1^\infty$ 型，则

$$u(x)^{v(x)} =\exp\!\bigl(v(x)\ln u(x)\bigr).$$

两个常被忽略的条件

• L’Hospital 法则要求分子、分母在相应去心邻域可导，分母导数不为零，并且导数之比的极限存在或为无穷。
• Heine 定理把函数极限变成任意趋向该点的数列极限；要证函数极限不存在，只要构造两列趋向同一点但函数值极限不同的数列。

连续、一致连续与闭区间工具箱

点连续就是

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

分段函数在分界点连续，要同时检查左极限、右极限和函数值。可去间断、跳跃间断属于第一类；至少一个单侧极限不存在或为无穷时属于第二类。

一致连续比逐点连续多一个要求：同一个 $\delta$ 要对区间内所有点都有效。常用判据：

• 连续函数在闭区间上必一致连续；
• 若 $|f'(x)|\le M$，则由中值定理 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$，所以一致连续；
• 要否定一致连续，构造 $|x_n-y_n|\to0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 不趋于 $0$。

闭区间上的连续函数可以使用有界性、最值定理、介值定理和一致连续性。题目若没有“闭区间 + 连续”，不能直接套这些结论。

导数：从局部线性化看所有公式

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$

可导意味着

$$f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+o(h),$$

所以导数既是切线斜率，也是函数在该点附近最好的线性近似。可导必连续，连续未必可导。

三类求导

• 复合函数：$(f\circ g)'=f'(g(x))g'(x)$。

• 隐函数 $F(x,y)=0$：

  $$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\ne0).$$

• 参数方程 $x=x(t),y=y(t)$：

  $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dt}(dy/dx)\Big/\frac{dx}{dt}.$$

高阶乘积求导用 Leibniz 公式：

$$(uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

中值定理的选法

• Rolle：两端函数值相等，结论是某点 $f'(\xi)=0$。
• Lagrange：比较函数值差，结论是 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
• Cauchy：两个函数的增量作比，常用于证明比值关系。

证明不等式时，先把目标整理成“函数值之差”，再用导数的上、下界控制它；证明存在某点满足导数等式时，常构造一个两端等值的辅助函数后用 Rolle 定理。

用导数研究函数

• $f'>0$：递增；$f'<0$：递减。
• 驻点和不可导点都是极值候选点。
• $f''>0$：函数严格凸；$f''<0$：函数严格凹。
• 拐点要求凹凸性真正改变，仅有 $f''(x_0)=0$ 不够。

Taylor 公式：极限、近似与不等式的共同语言

Peano 余项强调局部阶数：

$$f(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +o\bigl((x-x_0)^n\bigr).$$

Lagrange 余项可以估计误差：

$$f(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

常用展开：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4),$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4),$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6).$$

求极限时展开到“第一个不抵消的项”；证明不等式时保留 Lagrange 余项并判断其符号或估计大小。

积分：先看结构，再决定方法

不定积分

求原函数本质上是逆向求导：

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C,\qquad F'=f.$$

路线：

• 看见复合函数与其内层导数：换元；
• 看见多项式乘指数、三角或对数：分部积分；
• 有理函数：因式分解后做部分分式；
• 三角有理式：根据奇偶性或用 $t=\tan(x/2)$；
• 含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$：考虑三角代换。

分部积分

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

选 $u$ 的目标不是背口诀，而是让新积分更简单。

定积分

Riemann 和

$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$$

的分割直径趋于零时若有唯一极限，这个极限就是 $\int_a^b f(x)\,dx$。看到

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)$$

应立即想到 $\int_0^1f(x)\,dx$。

Newton-Leibniz 公式：

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f.$$

积分上限函数：

$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x).$$

定积分换元时上下限必须同步换；也可以换元后回到原变量再代原上下限，但不能混用。

几何和物理应用

所有应用题都先写微元：

• 面积：$dA=(\text{上}-\text{下})\,dx$；

• 旋转体薄片：$dV=\pi(R^2-r^2)\,dx$；

• 旋转曲面：

  $$dS=2\pi y\sqrt{1+(y')^2}\,dx;$$

• 弧长：

  $$ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx;$$

• 平面曲线曲率：

  $$\kappa=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}.$$

区间、半径和“上减下”应先由图形关系确定，再积分。

广义积分：先拆瑕点，再判敛散

广义积分是极限，不是直接把无穷代入原函数：

$$\int_a^\infty f(x)\,dx =\lim_{A\to\infty}\int_a^A f(x)\,dx.$$

若区间内部有瑕点 $c$，必须拆成两段，且两段都收敛才算收敛。

两个基准：

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^p} \begin{cases} \text{收敛},&p>1,\\ \text{发散},&p\le1, \end{cases}$$ $$\int_0^1 \frac{dx}{x^p} \begin{cases} \text{收敛},&p<1,\\ \text{发散},&p\ge1. \end{cases}$$

非负函数优先比较判别；变号函数先看绝对值。绝对收敛必收敛，反之不成立。振荡因子乘单调趋零因子时，考虑 Dirichlet 判别；一个因子有界单调、另一个积分收敛时，考虑 Abel 判别。

常微分方程：先分类，再套解法

一阶方程

可分离变量：

$$y'=g(x)h(y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx.$$

分离前先检查 $h(y)=0$ 给出的常值解，除法可能把它丢掉。

一阶线性方程：

$$y'+P(x)y=Q(x),$$

积分因子 $\mu=e^{\int P(x)\,dx}$，所以

$$y=e^{-\int P\,dx} \left(C+\int Qe^{\int P\,dx}\,dx\right).$$

Bernoulli 方程

$$y'+P(x)y=Q(x)y^\alpha$$

用 $z=y^{1-\alpha}$ 化为线性方程。

二阶常系数线性方程

齐次方程

$$y''+py'+qy=0$$

看特征方程 $r^2+pr+q=0$：

• 两个不同实根：$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；
• 重根 $r$：$(C_1+C_2x)e^{rx}$；
• 共轭根 $\alpha\pm i\beta$： $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。

非齐次通解等于“齐次通解 + 一个特解”。右端是 $e^{\lambda x}P_m(x)$ 或其与三角函数的乘积时，用待定系数法；若试探形式与齐次解重复，要乘足够次数的 $x$。

考场最后检查

• 极限中的等价替换有没有放进加减式？
• 中值定理、L’Hospital、Taylor 公式的可导阶数和区间条件写了吗？
• 定积分换元后上下限是否同步？
• 广义积分是否按每个无穷端点、瑕点分别取极限？
• 微分方程分离变量时是否漏掉常值解？
• 递推极限方程的多个根是否用单调性、界或符号筛选？

先判断题型与条件，再计算。工科数学分析最容易丢分的地方通常不是公式记错，而是公式使用条件被省略。