2024-B

摘要

• 本题的目标是针对实际生产过程采用合适的决策方案使得利益最大化。本文从利润最大化的角度出发，建立了基于序贯模型的假设检验最小成本优化模型、少量决策下利用遍历法的优化比较模型、大量决策下的分块动态规划模型、以及在次品率符合二项分布的正态近似分布时的决策优化模型。

• 针对问题一，首先，假设抽样符合二项分布的正态近似，利用假设检验的方法，由两种信度得到显著性水平和对应的临界值Zα。在成本最小化的前提下，将样本量关于误差的函数可视化，在误差E=0.05时曲线较平缓，样本量和误差均较低。据此，在信度为95%时得到的抽样样本量至少为139，在信度为90%时得到抽样样本量至少为98。其次，根据抽样次品数得到临界值Z，并与Zα进行比较决定是否接受这批零件，具体结果是139个零件中测出21个及以上次品则拒收，98个零件中测出14个及以下次品则接受。最后，我们基于序贯模型优化了抽样策略：当前次品数已达到拒收临界或正品数已达到接收临界时，终止检测，以此节省检测费用。

• 针对问题二，首先，将决策分为三个阶段，即是否零件检测，是否成品检测和是否成品拆解。对于每个决策，将每步决策行为记为0或1。由于本题涉及决策较少，采用遍历法计算得到16种决策的净利润，并进行比较取最大值。在此基础上，由于成品检测阶段的决策不影响后续是否拆解等决策造成的利润影响，可以直接通过成品检测费用和调换费用相比较得到结果，将决策总数减少至8种。最后我们针对6种具体情况代入数据，得到了6个最佳决策方案和对应的单位利润作为参考指标。

• 针对问题三，首先，依据工序将决策分为两部分。在第一个部分中，我们考虑零配件组装成半成品过程的成本和是否拆解与检测；在第二个部分中，我们将半成品视为二级零配件，并考虑成品的检测和拆解问题。由于涉及决策较多，我们将结合第二问的方法，分块进行动态规划，通过状态转移方程对每一步决策进行分析优化。其次，将模型简化，观察到多个零配件和多个半成品参数均相同，使这几项决策同步化，优化了规划方案。最后计算得到最佳的方案是对每个零件、半成品以及成品进行检测，并对不合格半成品和成品进行拆解，实现利润最大化。

• 针对问题四，首先依据问题一中的二项分布的正态近似得到次品率的概率分布。在此基础上，我们对问题二和问题三进行优化，分别得到了正态加权下的遍历决策模型和动态规划的加权优化模型。计算结果表明次品率在抽样检测时并不会对决策产生较大影响，问题二和问题三中的最终决策方案并没有随之改变。

• 最后，本文提出了模型未来可以继续优化推广的方向和优缺点分析，使本文提出的模型更好的在实际生产中得到应用。

模型假设

• 假设本题符合古典概型

• 假设各个检测过程相互独立，不受影响

• 假设拆解过程不影响零件/半成品质量

模型建立与求解

• 问题一

  • 目标

    • 确定一个在一定误差范围内，尽可能小的抽样样本量n，并确定对应的拒收临界值x，当次品数大于x时拒收，反之则接收

  • 变量

    • 设次品率为p，标称次品率为p1=0.1，样本量为n，样本中次品数为x，设信度为r

  • 模型建立

    • 基于二项分布，建立假设检验模型。由二项分布公式：X~B(n,p)，我们设定原假设为p<=p0，备择假设为p>p0。

    • 由题目条件可知，我们希望在一定误差范围内得到尽可能小的样本量。我们设定误差e=0.05，在此情况下求得抽样样本量n=Zα²p1(1-p1)/e²

    • 确定检验条件：显著性水平α=1-r。通过显著性水平，计算出Zα=中^-1 × （1-α），通过查表即可得到Z的值。若Z>Zα，则拒收，否则接收。Z=(x-np1)/√np1(1-np1)，得出拒收时，x的最小值。

  • 模型求解

    • 根据上述模型，代入实际值。

      • （1）r=0.95，得到Z0.05=1.96，根据公式，得到n=1.96²*0.1(1-0.1)/0.05²=138.2976，x>0.1n+Z0.05√0.1(1-0.1)n，得到x=20.7446

      • （2）r=0.90，得到Z0.1=1.64，根据公式，得到n=1.645²*0.1(1-0.1)/0.05²=97.4169，x>0.1n+Z0.1√0.1(1-0.1)n，得到x=14.6125

• 问题二

模型评价

• 模型优点

  • 1.在问题一中结合图像选择了合适的误差，使得模型在满足题设要求降低成本的基础上更加可靠

  • 2.在问题二中简化了成本检验的决策层，减少了计算量

  • 3.在问题三中求解动态规划模型的专题转移方程时采用分块计算的方法，增加了计算效率

• 模型缺点

  • 1.未结合实际数据进行模拟，仅在理论层面进行分析

  • 2.为精简模型进行了一些假设，仍需要结合实际进一步优化。

• 模型改进与推广

  • 1.当零件数和工序数进一步增加后，需要使用效率更高的算法减少计算时间。

  • 2.考虑检测和拆解过程中的零件可靠度问题进一步最优化研究。

  • 3.结合具体市场情况将生产链和销售链共同进一步研究。